行星重力位能与动能间的关联性(Association of

2020年08月03日 06:16 X烛生活


在均匀重力场之下,重力位能为 $$mgh$$,其中 $$m$$ 为物体质量,$$g$$ 为重力场强度,$$h$$ 为距离零位面的高度。

但实际上 $$g$$ 值会随着距地表的距离而改变,因此物理学上重新定义重力位能的一般式为:$$-\frac{GMm}{R}$$,其中 $$M$$、$$m$$ 为两质点的质量,$$R$$ 为质点间的距离,$$G$$ 为重力常数。该式定义两质点相距无穷远处的重力位能为零。

利用积分的方式可以证明,若 $$R$$ 为球体连心距离,球体间的位能亦可使用该式。值得注意的是,该位能为 $$M$$、$$m$$ 所共有的,因此若系统有 $$n$$ 个质点,系统共有 $$\frac{n(n-1)}{2}$$ 组的位能,这些位能作纯量的相加即为系统总位能。

考虑一双星系统,行星质量皆为 $$m$$,绕共同质心 $$O$$ 点作等速率 $$v$$ 圆周运动,如图所示。

行星重力位能与动能间的关联性(Association of

系统的位能,即双星位能 $$U=\displaystyle -\frac{Gm^2}{2R}$$

行星向心力来自行星彼此间的万有引力,根据 $$F=ma$$ 可列出其中一颗行星圆周运动的方程式:

向心力 $$=\displaystyle \frac{Gm^2}{(2R)^2}=m\frac{v^2}{R}$$

因此可以整理得出一颗行星的动能为 $$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{Gm^2}{8R}$$

系统有两颗行星,故系统总动能为 $$\displaystyle K=2\times\frac{Gm^2}{8R}=\frac{Gm^2}{4R}$$

其中我们发现行星系统的总位能与总动能之间具有 $$U=-2K$$ 这样的物理关联性。

进一步考虑三星系统,行星质量皆为 $$m$$,绕共同质心 $$O$$ 点作等速率 $$v$$ 圆周运动,如图所示。

行星重力位能与动能间的关联性(Association of

系统共有三组位能,且行星两两间距相等,皆为 $$\sqrt{3}R$$;

总位能 $$U=\displaystyle -\frac{Gm^2}{\sqrt{3}R}\times 3=-\frac{\sqrt{3}Gm^2}{R}$$

行星向心力来自行星彼此间的万有引力,根据 $$F=ma$$ 可列出其中一颗行星圆周运动的方程式:

向心力 $$=\displaystyle \frac{Gm^2}{(\sqrt{3}R)^2}\times 2\times \cos 30^\circ=m\frac{v^2}{R}$$

因此可以整理得出一颗行星的动能为 $$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{\sqrt{3}Gm^2}{6R}$$

系统有三颗行星,故系统总动能为 $$\displaystyle K=3\times\frac{\sqrt{3}Gm^2}{6R}=\frac{\sqrt{3}Gm^2}{2R}$$

其中我们发现行星系统的总位能与总动能之间仍具有 $$U=-2K$$ 这样的物理关联性。

考虑 $$n$$ 颗行星的系统,行星质量皆为 $$m$$ ,绕共同质心 $$O$$ 点作等速率 $$v$$ 圆周运动,如图所示。

行星重力位能与动能间的关联性(Association of

为了计算方便,在上图中假设了角度 $$\theta$$。

根据余弦定理我们可以知道两行星之间的距离为 $$\sqrt{R^2+R^2-2R^2\cos\theta_i}$$

考虑其中一颗行星与其最邻近行星所建构的位能为:

$$\displaystyle \Delta U=-\frac{Gm^2}{\sqrt{R^2+R^2-2R^2\cos\theta_i}}=-\frac{Gm^2}{2R\sqrt{\frac{1-\cos\theta_i}{2}}}=-\frac{Gm^2}{2R\sin\frac{\theta_i}{2}}$$

但是除最邻近行星外,行星间距离的一般式颇为複杂,在此我们就不再详加推导。

参考资料:
1.维基百科–位能  http://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy

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